第 1 章　集合与命题

集合的概念与表示

把一些确定的、不重复的对象放在一起，看成一个整体，就叫一个集合（set）。集合里的每个对象叫元素（element）。

判断"是不是一个集合"的关键是确定性：给定一个对象，它要么在集合里，要么不在，不能含糊。比如"个子高的同学"不是集合（多高算高？），但"身高超过 180cm 的同学"是集合。

元素与集合的关系：∈ 和 ∉

用 $a\in A$ 表示"a 是集合 A 的元素"，读作 a 属于 A；用 $a\notin A$ 表示"a 不属于 A"。

两种表示法

列举法：把元素一一列出，如 A = {1, 2, 3, 4}。
描述法：写出元素满足的共同条件，如 B = {x | x 是小于 5 的正整数}，竖线 "|" 读作"满足"。

常用数集（一定要记牢）

子集、全集、补集

如果集合 A 的每一个元素都在集合 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 $A\subseteq B$。
如果 A ⊆ B 但 B 里还有 A 没有的元素（A、B 不相等），就说 A 是 B 的真子集，记作 $A\subsetneq B$。

全集 $U$：在某个问题里，把研究对象的全体当作一个"大背景"集合。
补集 $\complement_U A$：在全集 U 里，所有不属于 A 的元素组成的集合，即"A 之外的部分"。

交集、并集

交集 $A\cap B$：既在 A 里、又在 B 里的元素（"两者都要"）。
并集 $A\cup B$：在 A 里或在 B 里的元素（"有一个就行"，重复的只算一次）。

命题与充要条件

能判断真假的陈述句叫命题。若 $p\Rightarrow q$，则 p 是 q 的充分条件、q 是 p 的必要条件；若 $p\Leftrightarrow q$，则互为充要条件。