指数运算与指数爆炸
初中学过正整数指数 aⁿ。高中把它扩展到分数指数幂和负指数：
$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ $a^0=1\ (a\ne 0)$
运算法则：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $(a^m)^n=a^{mn}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
指数爆炸有多猛？一张 0.1 mm 厚的纸，每对折一次厚度翻倍（×2）。看起来不起眼——但对折 30 次就超过珠穆朗玛峰，对折约 42 次能够到月球！拖动滑块感受一下。
对折次数 n = 10
对数的概念
问题反过来：2 的几次方等于 8？这个"几次方"就是对数。
$a^b=N\ \Longleftrightarrow\ \log_a N=b$ （$a\gt 0$ 且 $a\ne 1$，$N\gt 0$）
读作"以 a 为底 N 的对数"。a 叫底数，N 叫真数。两个特殊底：常用对数 lg N = log₁₀N，自然对数 ln N = log_e N。
运算法则（把乘除降为加减）：
log_a(MN) = log_a M + log_a N | log_a(M/N) = log_a M − log_a N | log_a Mⁿ = n·log_a M
log_a(MN) = log_a M + log_a N | log_a(M/N) = log_a M − log_a N | log_a Mⁿ = n·log_a M
👇 "指数 ⇄ 对数"翻译器：拖动指数 b，看 N = 2ᵇ 与对应的 log₂N = b 同时变化：
2³ = 8
⟺
log₂8 = 3
指数 b = 3.0
指数函数与对数函数互为逆
y = 2ˣ 把 x 变成 N；y = log₂x 又把 N 变回 x——它们互相抵消，所以叫互为反函数。在图象上，这表现为两条曲线关于直线 y = x 对称（像照镜子）。
动手看：拖滑块取一点。紫色曲线是 y = 2ˣ 上的点 P = (x, 2ˣ)，把它的横纵坐标对调，就落到青色曲线 y = log₂x 上的 P′ = (2ˣ, x)。两点正好关于虚线 y = x 对称。
x = 1.5
指对闯关
答对解锁下一关，集齐 ⭐ 即通关。卡住了就回上面的图再看一眼。
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